开始系统的读《费曼物理学讲义》， 以下是我学习过程中的一些摘抄笔记， 供我后续反复研读。
大自然整体的每一部分始终只不过是对于整个真理 – 或者说,对于我们至今所了解的整个真理 – 的逼近。 实际上, 人们知道的每件事都只是某种近似,因为我们懂得,到目前为止,我们确还不知道所有的定律。 因此,我们学习一些东西,正是为了要重新忘掉它们,或者更确切地说是为了改正以前对它们的谬见。
科学的原则一一或者简直可称为科学的定义为: 实验是一切知识的试金石。 实验是科学”真理”的唯一鉴定者。但什么是知识的源泉呢? 那些要检验的定律又是从何而来的呢?从某种意义上说,实验为我们提供了种种线索,因此可以说是实验本身促成了这些定律的产生。但是,要从这些线索中作出重大的判断,还需要有丰富的想象力去对蕴藏在所有这些线索后面的令人惊讶、 简单而又非常奇特的图像进行猜测,然后再用实验来验证我们的猜测究竟对不对。这个想象过程是很艰难的,因此在物理学中有所分工:理论物理学家进行想象、推演和猜测新的定律,但并不做实验;而突验物理学家则进行实验、想象、 推演和猜测。
一个实验怎么可能是”错误”的呢? 首先,通常是:仪器上有些毛病,而你又没有注意。但是这种问题是容易确定的,可以通过反复检查。如果不去纠缠在这种次要的问题上,那么实验的结果怎么可能是错误的呢? 这只可能是由于不够精确罢了。例如,一个物体的质量似乎是从来不变的:转动的陀螺与静止的陀螺一样重。结果就发现了一条”定律”:质量是个常数,与速率无关。然而现在发现这条”定律”却是不正确的。质量实际上随着速度的增大而增加,但是要速度接近于光速,才会显著增加。正确的定律是:如果一个物体的速率小于 100 mi /s,那么它的质量的娈化不超过百万分之一。在这种近似形式下,这就是一条正确的定律。因此,入们可能认为新的定律实际上并没有什么有意义的差别。当然,这可以说对,也可以说不对。对于一般的速率我们当然可以忘掉它,而用简单的质量守恒定律作为一种很好的近似。但是对于高速情况这就不正确了:速率越高,就越不正确。
物质是原子构成的。 假如由于某种大灾难,所有的科学知识都丢失了,只有一句话可传给下一代,那么怎样才能用最少的词汇来传达最多的信息呢? 我相倍这句话是原子的假设(或者说原子的事实,无论你愿意怎样称呼都行):所有的物体都是有原子构成的 – 这些原子是一些小小的粒子， 他们一直不停地运动着， 当彼此略微离开时相互吸引， 当彼此过于挤紧时又互相排斥。
原子的半径为 1x10 负 8 次方。另一个记住原子大小的方祛是这样的:如果把苹果放大到地球那样大,那么苹果中的原子就差不多有原来的苹果那样大。
现在,想象这个大水滴是由所有这些跳动着的粒子一个挨一个地”粘合”起来的,水能保持一定的体积而并不散开,因为它的分子彼此吸引。如果水滴在一个斜面上,它能从一个位置移动到另一个位置。水会流动,但是并不会消失 – 它们并没有飞逝,因为分子之间有吸引力。这种跳动就是我们所说的热运动。当温度升高时,这种运动就增强了。如果我们加热水滴,跳动就增加,原子之间的空隙也增大。如果继续加热到分子间的引力不足以将彼此拉住时,它们就分开来飞散了。当然,这正是我们从水制取水蒸气的方法一提高温度。粒子由于运动的增强而飞散。
人们首先把自然界中的现象大致分为几类，如热、电、力学、磁、物性、化学、光或光学、X射线、核物理、引力、介子等等现象。然而，这样做的目的是将整个自然界看作是一系列现象的许多不同侧面。这就是今天基础理论物理面临的问题：发现隐匿在实验后的定律;把各类现象综起来。在历史上，人们总能做到这一点，但随着时间的推移,新的事实发现了；我们曾经将现象综合得很好,突然，发现了 X 射线，随后我们又融合了更多事实，但是又发现了介子。因此,在奔棋的任何一个阶段,看起来总是相当凌乱。大量事实被归并了，但总还有许多线索向一切方向延伸出去。这就是今天的状况，也就是我们将试图去描绘的现状。历史上出现过的若干进行综合的情况有如下几个。首先，是热与力学的综合。当原子运动时，运动得越是剧烈，系统所包含的热量就越多，因此，热和所有的温度效应可以用力学定律来说明。另一个巨大的综合是发现了电、磁、光之间的联系，从而知道它们是同二个事物的不同方面,即今天我们称为电磁场的那个东西的不同表现。还有一个综合是把化学现象、各种物质的各种性质以及原子的行为统一起来,这就是量子化学的内容。显然,现在的问题是：能不能继续把所有事情都综合起来，并且发现整个世界只是体现了一件事情的种种不同方面？无人知道答案如何。我们所知道的只是：这样做下去时，我们发现可以综合一些事实，随后又发觉出现了一些不能综合的事实。我们继续尝试这种拼图游戏。至于是否只有有限数量的棋子,甚至这场拼图游戏是否有底,当然不知道。除非有那么一天终于把图拼成了，否则我们就永远不会知道事情的究竟。在这里我们要做的是，看看哪种综合已进行到什么程度,在借助于最少的一组原理来理解基本现象方面,现状又是如何。简言之，事物是用什么构成的？总共存在多少基本元素？
如果能领悟到下列几点或许要比较好一些，即概率概念在某种意义上是主观的，它总是建立在不肯定的知识上的，而且它的定量值是随着我们得到的信息越多而改变着。
引力与相对论, 另一个值得讨论的论题是爱因斯坦对牛顿引力定律所作的修正。尽管牛顿引力定律创造了所有这些惊人的成就，但仍然是不正确的！爱因斯坦对它所作的修正,在于把相对论考虑了进去。依照牛顿的观点，引力效应是瞬时发生的，也就是说,如果我们移动一个物体,那么我们就会立即感觉到一个新的力，因为物体到达了新的位置；按照这种说法，我们可以以无穷大的速度发送信号。然而爱因斯坦提出了种种论证，说明我们不能发送比光更快的信号，所以牛顿引力定律必定是错误的。在考虑到延迟情况而加以校正后，我们得到一条新的定律,称为爱因斯坦引力定律。这条非常容易理解的新定律的一个特点是：在爱因斯坦相对论中,任何具有能量的东西也具有质量一质量应在这一意义下来理解,即它以引力方式被其他质量所吸引。即使是光，由于它有能量，也就有“质量”。当一束带有能量的光经过太阳附近时，它将受到太阳的吸引。所以光并不是沿直线通过的,而是被弯曲了的。例如在日食时，太阳周围的恒星应该看起来好像从它们的这些位置偏离开去，这些位置就是如果太阳不在那里时它们所应处的地方。
对每个微分公式，如果我们把它倒过来，就得到一个积分公式。每个函数可以用解析的方法微分，即这个过程能用代数方法来进行,并得出某个确定的函数。但是,对任何随意给定的积分,却不可能用简单的方式写下一个解析解。你们可以计算一下,比如，上述的求和,再用更小的时间间隔△t 进行计算,然后用更小的间隔等等,直到得到一个近乎正确的值。但一般说来,给定某个特殊的函数,就是不可能解析地找到它的积分是什么。人们可能老是想找到一个函数,当对它求微分后,能给出某个所希望的函数;但人们可能找不到它，而且从能用已命名的函数来表示的意义来说，它可能不存在。
近代已对动量守恒定律作了一些修正。然而，今天这条定律仍是正确的，修正主要是在事物的定义上。在相对论中,我们的确也有动量守恒定律；粒子具有质量，而动量仍由 mv，即质量乘以速度给出，但是质量随速度而改变，因此动量也发生改变。质量随速度的变化遵从以下规律 m = M0 除以 (1 - v 平方/c 平方)的平方根。 这里 M0 是物体的静止质量，c是光速。从这个公式很容易看出，除非非常大，否则 m 与 M0 的差别就可忽略。
在量子力学中，动量物体的速度的含义已难以确切定义，但是动量仍然存在。在量子力学中，差别在于当粒子表现为粒子时,动量仍是 mv, 但是当粒子表现为波时，动量就用每厘米的波数来量度：波数越大，动量就越大。尽管存在这些差别,动量守恒定律在量子力学中仍然成立。虽然 f = ma 不成立，所有从牛顿定律出发的有关动量守恒的推导也都不成立，然而,在量子力学中，这条特殊定律却最后仍然保持有效！
人们可能并不满足于物理学试图获得的对自然界的近似(但总是力图增加这个近似的精确度)看法，而宁愿要一种数学的定义，但是数学的定义在真实世界中是永远不会起作用的。对数学来说所有的逻辑都能完全贯彻，数学定义对它将是适合的。但是正如我们在像海浪和葡萄酒等一些例子中指出过的那样,物理世界是复杂的。当我们试图将它的各部分隔离开来讨论一种质量时,对于酒和杯子来说，当一方溶于另一方时,我们怎么能知道哪些是酒,哪些是杯子呢？作用于单个物体上的力已经包含着近似了，要是我们有一个论述真实世界的体系，那么这种体系，至少对目前来说，必定包含着某些近似。这种体系完全不像数学体系那样。在数学中对每个事物都能够下定义，此外我们就不知道在说些什么了。事实上，数学的伟大就在于我们不必说出我们所谈论的是什么东西。此种伟大在于定律、论证和逻辑都与“它”是什么东西无关。如果有另外一组客体，它遵从同样的欧几里得几何公理体系,那么一旦我们作出一些新的定义,并根据它们作正确的逻辑推演,所有的结论都将是正确的,而与所讨论的内容没有关系。然而,在自然界中当我们利用一束光或经纬仪(正如我们在测量中所做的)来画出或建立一条线时,我们是在欧几里得的几何意义上量度线吗？不,我们是在作一种近似。叉丝有一定的宽度，但是一根几何线并没有宽度。因此,欧几里得几何学是否能用于测量是一个物理问题而不是数学问题。然而,从实验的观点，而不是从数学的观点来看问题的话,我们需要知道欧几里得的定理是否适用于我们丈量土地时所使用的那种几何。于是我们假定它是适用的，而且非常成功。但是它不是精确的，因为我们测量的线并不是真正的几何线。那些真正抽象的欧几里得线是否适用于实验上的线是一个经验问题；而不是由纯粹的推理可以回答的问题。
尽管有大量精确分析的工程数据,要做精确的定量摩擦实验仍然是非常困难的,并且摩擦定律也还没有被人们很好地分析过。虽然，只要表面经受标准处理，定律 F = μN 是相当精确的,但是对于定律具有这种形式的原因还没有真正弄清楚。要证明摩擦系数μ几乎与速度无关需要一些巧妙的实验方法，因为如果下表面快速振动，表面摩擦就要大大减少。当在非常高的速度下进行这项实验时，必须注意物体彼此之间不能有振动，因为在高速情形下摩擦明显减小常常是由振动引起的。无论如何，摩擦定律是又一个半经验定律，这些半经验定律还没有被我们完全认识。而且，奇怪的是从我们做过的所有研究来看,对这些现象仍然没有进一步理解。实际上，目前甚至要估计一下两个物体之间的摩擦系数也是不可能的。
上面曾经指出，企图用纯的物体如铜在铜上面的滑动来测量将得出虚假的结果。因为接触的表面不单纯是铜，而是氧化物和其他杂质的混合物。如果我们想要得到绝对纯的铜，即使清洗和抛光表面，在真空中对材料除气并且采取各种可能想到的预防措施,我们还是不能测得μ。因为即使我们把装置倾斜到垂直位置,滑块仍不下落一一两片铜粘在一起了！对一般硬度的表面来说,摩擦系数μ通常比 1 小，而这时μ变得比 1 大上好几倍！出现这种意想不到的现象的原因是当相互接触的原子全都是同一种原子时，这些原子无法“知道”它们是在不同的铜片上的。当原子存在于其他氧化物、油脂和更复杂的玷污物的薄表面层时，原子就“知道”它们不是在同一部分。当我们考虑到正是原子之间的力把铜原子结合在一起成为固体的时候，就会明白，对纯金属是不可能得出正确的摩擦系数的。在用一块平玻璃板和一只玻璃杯做的简单的家庭实验中也能够观察到同样的现象。如果把玻璃杯放在平板上，并用一根绳子拉它，它将在平板上很好地滑动，人们能够感觉到摩擦系数,这个系数虽然有点不规则，但毕竟是一个系数。如果我们现在把玻璃板和玻璃杯底弄湿,重新再拉,就会发现杯子粘住了。如果仔细看一下,将会发现划痕,因为水能够从表面除去油脂和其他玷污物，这样我们才真正得到玻璃与玻璃的接触。这种接触是如此牢固，以至于使它们粘紧在一起,不再分离，结果玻璃被撕裂，也就是说造成了划痕。
赝力的另一个例子是通常所谓的“离心力”。在转动坐标系中，例如一个旋转的箱子里的观察者在把东西抛向墙壁时，将会发现一种神秘的力，这个力用任何已知起源的力都解释不了。这些力的出现，只是由于观察者不具备牛顿坐标系这个事实，而牛顿坐标系是最简单的坐标系。
赝力可以通过一个有趣的实验来说明，在这个实验中,我们拖一桶水沿着一张桌子加速前进。当然,作用在水上的重力方向向下,但是由于水平方向的加速,也有一个水平作用着的力,方向与加速度方向相反。重力与力的合力与垂直方向成一角度,在加速运动期间，水的表面将与合力垂直，即与桌面倾斜成一角度，在桶的后面部分水面将高起一些。当我们不再拖水桶时，由于摩擦而使桶减速运动（力变换方向）,桶前面部分的水将高起一些。
赝力的一个非常重要的特征是，它们永远与质量成正比；重力也是这样。因此，有可能重力本身就是一种力。或许简单地说，引力就是由于我们没有正确的坐标系而引起的，这难道是不可能的吗？归根到底，如果我们设想一个物体正在加速,那么我们总可以得到一个与质量成正比的力。例如，一个关闭在箱子里的人（箱子静止放在地球上）,就会发现有一个力使他呆在箱子的地板上，这个力与他的质量成正比。但是如果根本没有地球，而箱子静止不动,那么箱子里的人就会漂浮在空中。另一方面,如果根本没有地球,而是有某个东西将箱子以加速度 g 向上拉，那么箱子里的人在分析物理现象时，应当发现一个力，这个力就像重力那样把人拉向地板。
爱因斯坦提出了著名的假设，加速度产生引力的物，加速度的力(力)与引力是不可熊区分的；要说出给定的力中有多少是重力，有多少是力是不可能的。
核力存在于原子核的内部，尽管对它们进行了充分的讨论，但没有一个人曾经计算过两个原子核之间的力，甚至在目前还没有关于核力的已知定律。这些力的作用范围极小，差不多与原子核的大小(大约是 10 负 13 次方 cm)相同。对于这样小的粒子,再加上作用距离又是如此微小，只有量子力学的定律才是正确的，牛顿定律就失效了。在核分析中，我们不再用力来思考，事实上我们可以用两个粒子的相互作用能的概念来代替力的概念，这一课题将在以后进行讨论。关于核力，能够写出的任何公式都是忽略了许多复杂情况的相当粗糙的近似；其中之一可以表述如下：在原子核之内的力并不随距离的平方反比变化，而是在一定距离 r 之后指数地衰减掉,用公式表示,即 F=（1 /r²）exp(一 r /r0），式中距离 r0 的数量级是 10 负 13 次方 cm。换句话说,粒子相隔距离稍大一些,力就消失了，虽然这些力在 10 负 13 次方 cm 范围内是非常强的。就今天对核力的理解而言，它的定律是非常复杂的；我们不能以简单的方式去理解它们，因而分析核力背后的基本机理的整个问题仍未解决。
物理学上“功”这个词的含义与一般情况下的含义是不同的，为此我们必须仔细观察它显示出不同含义的某些特殊情况。例如,按照物理上的功的定义，如果一个人把 100 1b 的重物提在手中一段时间，他并没有做功。然而,每个人都知道他会出汗，颤抖，喘气,好像他在奔上楼梯一样。可是,奔上楼梯则被认为是在做功(按照物理学，下楼时,地球对人做功)，但仅仅把物体保持在一个固定的位置上是不做功的。显然，物理学上功的定义与生理学中功的定义不一样,我们将对其原因作一简单的探讨。当一个人提着重物的时候，他必须做“生理”上的功,这是事实。为什么他会出汗？为什么他提着重物时需要消耗营养？为什么仅仅是为了提起重物人体内部机构需要全力以赴地工作？实际上，只要将重物放在桌子上就不必再费力气；而静止和平稳的桌子不需要供给任何能量就能够把相同的重物保持在相同的高度上！生理上的情况则如下所述：在人体和其他动物内有两种肌肉，一种称为横纹肌或骨胳肌，例如我们手臂中的那种肌肉，它可以随意控制；另一种称为平滑肌，如人肠内的肌肉，或蛤之类动物中使蛤壳闭拢的闭壳肌。平滑肌工作得非常缓慢,但它能够保持一种“姿势”,也就是说，假若蛤要把它的外壳闭拢在某一个位置上，即使有很大的力去改变它，它将仍然保持那个位置。在长时间的负荷下它仍然保持一定的位置而不感觉疲劳,因为这与桌子支持重物非常相似，它“固定”在一个确定的位置，而它的分子就暂时卡在那里不做功，所以蛤不需花费力气。事实上，我们提着个重物之所以要花费力气，仅仅是由于横纹肌结构的关系。当神经脉冲传到肌肉纤维的时候，该纤维就会抽搐一下，然后松弛下来，所以当我们拿起一个重物时，大量的神经脉冲流传到肌肉，大量的抽搐维持着重物，而另一些肌肉纤维则松弛着。当然，我们可以看到：当我们提起一个重物而感到疲劳时，我们就开始额抖。其原因是神经脉冲流不规则地传过来，而肌肉疲劳了，反应得不够快。为什么会出现这种不能胜任的样子呢？我们不知道确切的原因，但是人类还没有进化到能产生快速作用的平滑肌。平滑肌支撑重物将有效得多，,因为当你站着的时候,平滑肌会卡住，这不涉及到做功问题，也不需要能量，可是，它的缺点是动作非常缓慢。有意义和有用处的。因为作用于一个质点的合力对质点所做的功，恰好等于该质点的动能的变化。也就是说,假若推动一个物体,物体会获得速度,而且 △v² 二 2F·△s /m。
我们引出势能曲线的原因，是由于力的概念对量子力学来说不太合适，在那里，能量的概念是最自然的。当我们进一步考虑核物质之间以及分子之间等等的更高级的作用力时，我们发现虽然力和速度都“溶化”和消失了，但是能量概念继续存在。因此，在有关量子力学的书中我们看到有势能曲线,但是很少看到两个分子之间作用力的曲线，因为在那时人们是用能量，而不是用力来分析问题。
作为另一个例子，当有摩擦存在时动能并非真正损失掉，即使一个滑动着的物体停了下来,看上去动能似乎损失掉了，其实，,动能并没有损失掉,因为内部原子以比以前更大的动能晃动着，虽然我们不能看到这些,但可用测定温度的办法来量度它。当然，如果我们不考虑热能，那么；能量守恒定律就显得不正确了。另一种情况是，当我们只研究系统的某一部分时，能量守恒也似乎不正确。当然，如果某个物体与外面的某个物体相互作用，而我们忽略了把这种作用计算进去，此时能量守恒定理就会显得不正确了。在经典物理学中，势能只包括引力能和电能，现在我们则还有核能和其他能量。例如，光能在经典理论中必须作为一种新的能量形式，但是如果我们愿意的话，也可以把光能想象为光子的动能,这样，式(14.2)仍旧是正确的。
如果把一个由弦线联在一起的许多木块和木条所组成的物体抛到空中，我们就可以在这个过程中观察到第一个有趣的有关复杂物体运动的定理在起作用。当然,我们知道,如果我们研究的是一个质点，它将沿一条抛物线运动。但是,现在我们的物体不是一个质点，它将摇摆和翻滚等。尽管如此，人们仍能看到，它还是沿抛物线运动。但究竟是什么沿抛物线运动呢？当然不是木块边角上的点，因为它在上下翻滚；也不是木条的端点和木块或木条的中间部分。但是,确实有某个东西沿抛物线运动,那就是有效“中心”。因而第一个关于复杂物体的定理就是要表明：存在着一个在数学上可以定义的平均位置，但不一定是物体上的一个点沿抛物线运动。这就叫做质心定理。
转矩还有第三个非常有趣的公式。我们刚刚在图 18-2 中已经看到转矩等于力乘半径再乘 sinα。但是，假如我们延长力的作用线，并画一条与力的作用线垂直的直线 OS（即力）,我们发现这个力臂相对于 r 之比等于力的切向分量相对于总力之比。因此，转矩公式还可以写成力的大小乘力臂的长度。转矩通常也叫力矩。这个字的来源不很清楚，但是 moment 是从拉丁语中的 movimentum 衍生出来的，而且一个力移动物体的能力（力作用在一个杠杆或一根撬棒上)是随力臂长度的增加而增加的,因此，它的来源可能与此有关。在数学上“矩”（“moment”)的意思是用离开轴的距离多少来加权的。
当然，人们可以猜想人类最初能够发现的定律应该是能在较大的尺度范围内重现的。为什么呢？因为宇宙基本齿轮的实际尺度是原子的尺度，而它比我们观察到的尺度要小得多，因而在通常的观察中离这种尺度很远。所以我们最初得以发现的定律对于这种非原子尺度那样特殊大小的物体必定是正确的。如果有关小粒子的定律不能在较大尺度范围内重现，我们就不能那么容易地发现它们。那么，反过来问题又会怎样呢？小尺度范围内适用的定律必须和大尺度范围的定律相同吗？当然，适用于原子范围的定律在本质上并不一定要与在大尺度范围内适用的定律相同。假设原子运动的真正规律由某种奇特的方程确定，这个方程并不具有当我们研究大尺度问题时重现同样规律的性质，而是其有这样的性质：当我们处理大尺度问题时，我们可以用某种表示式作为近似，以致如果我们一步一步地推广这个表示式，它就能在越来越大的尺度下不断重现。这是可能的，而且正符合实际情况。牛顿定律就是推广至非常大的尺度范围的原子规律的“末端”。在微观尺度下粒子运动的真正规律是非常特殊的，但是如果取大量的粒子,把它们组合起来，它们就近似于而且也仅仅是近似于牛顿定律。牛顿定律使我们能够继续处理尺度越来越大的问题，而且看来仍然是同一定律。实际上，随着尺度的不断变大,牛顿定律也就越来越精确。牛顿定律这种自我重现的因素并不真正是自然界的根本特色，而是一个重要的历史特色。在最初的观察中,我们决不会发现原子微粒的基本规律，因为最初的观察太粗糙了厂。实际上，现在知道，基本的原子规律，即所谓的量子力学，与牛顿力学非常不同，而且很难理解，因为我们所有的直接经验都与大尺度的物体有关，而尺度很小的原子的行为与我们在大尺度上所见到的根本不一样。因此，我们不能讲：“一个原子就像一个围绕太阳运转的行星”，或诸如此类的话。它不像我们所熟悉的任何东西，因为没有任何东西与之相似。当我们把量子力学应用到越来越大的物体上时，,关于许多原子集合在一起的行为的规律并不是原子行为规律的再现，而是产生一些新的规律，即牛顿定律,至于牛顿定律本身则不断地重现，比如说从小至微微克的物体一一它已经包含有数以兆亿计的原子一一到大至地球,甚至更大的物体都适用。
现在要问,应在何处加一个力，使它和作用在整个物体上的重力相平衡，从而使得整个物体，如果它是一个刚体的话，不发生转动？答案是这个力必须通过质心，我们将用下面的方法来说明这个问题。要使物体不转动，所有力产生的转矩之和应为零，因为假如转矩不为零，就会有角动量的变化，也就必然会有转动。
现在我们可以说是理解了回转仪的进动，实际上，我们是从数学上去理解的。然而，这只是数学上的事情，而且在某种意义上简直是“奇迹”。当我们深入到越来越高级的物理学时,将会看到很多简单的东西用数学的方法来推导要比从基本的或简单的意义上去真正理解它们来得快一些。这是一个很奇怪的特性，而且在我们接触越来越高深的研究工作时，就会遇到这些情况，其中数学导出了结果，但这些结果没有一个人能以任何直接的方式真正理解它。狄喇克方程就是一个例子，它的形式非常简单而优美，但是它的结论却很难理解。对于我们所讨论的特殊情形，陀螺的进动看上去像是包含有直角和圆周,扭转和右手螺旋的一类奇迹。我们要做的是怎样用更符合物理的方式去理解它。
在学习物理学时,通常是把课程分成一系列的科目，如力学、电学、光学,等等，并且总是一门课程接着一门课程地学习。例如,到目前为止本门课程主要讨论的是力学。但是,有一件奇怪的事情却一再出现：即在物理学的不同领域中，甚至在其他的学科中，出现的方程式几乎往往是完全一样的，因此在这些不同领域中很多现象都有其类似之处。举一个最简单的例子，声波的传播在很多方面就与光波的传播相类似。如果我们深入地研究声学,就会发现要做的很多工作与我们深入研究光学时相同。所以，对一个领域中某种现象的研究可以扩展我们对另一个领域的知识。最好从一开始就认识到这种扩展是可能的，否则，人们就可能对为什么要花这么多的时间和精力来研究仅仅是力学中的很小一部分，感到不可理解。
也许你要问，“在物理课上，讲数学干什么？”可能有几个原因：首先，当然数学是一种重要的工具，但这只能成为我们花上两分钟写出公式的理由。另一方面，在理论物理中，我们发现所有定律都能写成数学形式，从而使它们变得简单而优美。所以，从根本上说，为了了解自然界,就得对数学关系式有深刻的理解。但是，真正原因还在于研究这个课题本身就是一种乐趣，虽然我们人类把自然界划分为各种不同的领域，而且在不同的系科中设有不同的课程，但是这种划分完全是人为的，我们既然发现了这种理智上的乐趣，就应享受这种乐趣。我们在这个时候更详细地来研究代数学，还有另一个原因；那就是尽管我们大多数人在高中学过代数，但那毕竟是第一次接触，所有的公式都是陌生的，学起来就像现在学物理一样吃力。经常回顾一下我们曾经学过的领域,看一下整个事物的概貌和图像，常常会引起我们的无穷的乐趣。
最后,我们终于领悟到这些所发现的函数当然也是几何学的。因此,我们看到在代数和几何之间最终是有联系的。我们可以用在一个平面上表示复数的办法把几何和代数联系起来,平面上一个点的水平位置是 x,垂直位置是 y。 我们用 x + iy 表示任何复数。 假如这个点的径向距离是 r,角度为θ,根据代数定律，x + iy 可写成 re 的 iθ次方 的形式,其中 x, y, r 和θ之间的几何关系如图所示。这就是代数和几何的统一。